已知函数f(x)=ax^3+cx+d (a不=0)
来源:百度知道 编辑:UC知道 时间:2024/05/09 10:01:43
(1)求f(x)的单调区间和极大值;
(2)证明对任意x1,x2属于(-1,1),不等式-4<f(x1)-f(x2)<4恒成立
解:因为函数f(x)=ax^3+cx+d (a不=0)是R上的奇函数
所以f(0)=0,解得 d=0,故f(x)=ax^3+cx。
f(x)的导数=3ax^2+c。
因为当x=1时 f(x)取得极值-2.所以f(1)=a+c=-2
且 f(1)的导数等于0(因为它是极值)
即 3a+c=0,由a+c=-2,3a+c=0联立解得:a=1,c=-3。
故f(x)=x^3-3x。f(x)的导数=3x^2-3。
(1)当f(x)的导数=3x^2-3>0,解得:x>1或x<-1,
当f(x)的导数=3x^2-3<0,解得:-1<x<1。
所以 (-无穷,-1),(1,+无穷)为f(x)的单调增区间。
(-1,1)为f(x)的单调减区间
当x=-1时,有极大值f(-1)=2
当x=1时 f(x)取得极小值-2.
(2) 因为(-1,1)为f(x)的单调减区间,
所以对任意x1,x2属于(-1,1),都有f(1)<f(x1),f(x2)<f(-1),
即-2<f(x1),f(x2)<2。
所以不等式-4<f(x1)-f(x2)<4恒成立。
(1)
f(1)=a+c+d=-2
因为是奇函数,所以f(-1)=-a-c+d=2
因为当x=1时,f(x)取得极值-2
所以f(1)是最小值,相应的,f(-1)是最大值。
所以,可以得出,f(x)分别在(-∞,-1)和(1,+∞)上分别单调递增,在(-1,1)上单调递减。
(2)
根据图像,易证。
f(x)为奇函数,得出d=0,在x=1取得极值,则f(1)‘=0得3a+c=0
F(1)=-2,得 a+c=-2
解得a=1,c=-3
1,f(x)=x^3-3x,fx’=3x^2-3=0,x=1,x=